【建立模型】如何把现实映射进计算机？

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【建立模型】如何把现实映射进计算机？

建立模型：如何把现实映射进计算机

我们之前介绍了怎样设计一个算法，用算法解决问题的一般步骤。先要明确问题的方向和边界，建立数学模型，再找到合适的算法。

在这个过程中，建模非常考验算法工程师的水平，数学模型无法描述全部客观现实，这就需要算法工程师做出取舍，找到最贴合现实问题的数学描述。我们来具体说说怎么建立数学模型。

拿一个问题来举例，假设现在我们要预测100年之后的地球人口总数，该怎么建立模型呢？

还是分成三个步骤来说，第一步，确定假设；第二步，验证模型；第三步，权衡可行性。

1 确定假设

先来说第一步，确定假设。

像人口问题，现实中影响它的因素非常多。

比如说，各个国家的变化有很大差别，印度增速非常快，日本就很慢。不同的历史时期，人口增速也不同。前几十年，中国施行计划生育，人口增速就会变慢，现在放开了二胎，增速又会变快。两次世界大战，也让世界人口大规模减少，这些问题是否都要考虑呢？

再有，观念变化也会影响。现代社会很多人选择丁克生活，不生孩子，这些人比例有多少呢？中国乡村受到传统观念的影响，希望能多生孩子，这些数据和变化要不要考虑呢？

这么多因素，建模的时候一定不可能全都考虑，那哪些该考虑，哪些该舍弃呢？这就需要先确定假设。

我们先要搞清楚，需要得到一个什么精度的预测结果。如果我们想要的精度很低，那只需要一个简单、容易计算的模型。这时候，我们就需要对问题进行最大程度的简化。

比如咱们可以假设，像是一战、二战这样的大规模战争，在未来100年不会发生。还可以假设，像计划生育这样对人口有重大影响的政策，在未来100年不会发生。

这些假设当然是不合理的，没人能为这些做出担保，但舍弃这些变量可以大大简化模型。

当然，还可以再简化，各个国家的观念、社会影响，咱们都不考虑，就把全球人口总规模看成一个整体，只盯着这一个数据。

再进一步，咱们可以假设全世界人口增长速度不变。过去20年，全球人口增长了30%，那么假设未来每20年，世界人口也增长30%。这样的话，我们就把世界人口发展描述成了一个指数增长模型。

有了这个模型，我们就可以对全球人口进行预测。

但如果对精度要求非常高，就不能这么干了，各种复杂的因素都要有所考虑。联合国人口司是对世界人口走向进行预测最权威的机构。他们的模型建立得就非常精确。

他们通过数据分析，发现大部分国家的生育率大约都经历三个时期：高生育率期，从高生育率到低生育率的过渡期，以及低生育率期。联合国人口司追踪每个国家所处的时期，并对它们将来的人口增长率进行假设。

不只如此，他们还把死亡率、人口迁移、寿命的延长等等因素都考虑进模型中来。最后通过数值模拟，估计到下个世纪初，地球上的人口会达到109亿。

确定假设，其实是一步步确立重要变量、核心关系的过程。舍弃不重要的细节，把模糊的问题，明确化、量化，这样就把一个复杂的现实问题，转化成了计算机可以理解，算法可以处理的数学问题。

2 验证模型

模型有了，我们怎么知道这个模型是不是靠谱呢？这就需要进行第二步，验证模型。

按照刚才的假设，人口规模会呈现指数增长。指数增长速度是很快的，全球人口过不了多久，就会多到地球都承受不了，这符合现实吗？

我们换一个思路，再提出一个假设：人口的增长速度总是先慢再快，然后再慢，最后趋近于零。也就是说，虽然人口会不断增加，但之后增加得非常慢，最后人口总量会趋于一个稳定值。这个模型，叫逻辑斯蒂增长模型。

你认为哪个模型更贴近现实呢？常识就可以告诉你，一定是第二个。

如果常识验证不了，还可以用不同的方式来验证模型的可靠性。

比如，把两个模型都放在过去的某个时间点，看看它们对后来世界人口的发展，谁预测得更准确。又比如，我们可以把它们使用在国家层级的人口上，看看谁对国家人口的估计更准。哪个估计得不准确，就把谁淘汰掉。

那模型的验证是不是就总有固定的方法呢？

不一定。有时候需要有些奇思妙想，打破常规思维才行。讲一个科学史上发生过的，验证模型的惨案”。

当时在中世纪，科学界最大争论就是，太阳围着地球转，还是地球围着太阳转？日心说”和地心说”，是人们认识世界的两种模型，那怎么验证谁是谁非呢？这就不得不提两个人，第谷和开普勒。

先说说丹麦天文学家第谷，那可是个非常厉害的人物。

他是个贵族，却对用数据进行天文学研究，充满了热忱。1576年，丹麦国王为了支持他，送给他一座岛，还耗资一吨多黄金为他建造了一座天文台，那是世界上最早的大型天文台。

从此，20多年，第谷风雨无阻观察恒星和行星的运动轨迹，他对星象的观测精度，几乎接近肉眼分辨率的极限。就这样，第谷拿到了大量的一手天文观测数据，各个星体的位置记录精确到每天。

结果呢，他看不懂这些数据，没有发现规律，既不能验证地心说”，也不能验证日心说”，一无所获。

想不到的是，他的助手开普勒找到了答案。开普勒在第谷死后拿到了第谷毕生的数据，靠着分析第谷的数据，验证了日心说”模型的正确性。他还提出了著名的开普勒三定律，开启了近代天文学。

怎么开普勒就能成功，第谷不能呢？其实就在于，他们验证模型的时候，用的时间尺度不同。

第谷用的数据，以天”为单位，数据量太大，发现不了规律。开普勒以年”为单位，数据量大大减少，分析起来简单好多，当然也就更快地找到了规律。

所以说，模型的验证不是一成不变的，我们得从多角度来论证，有时候还需要点儿奇思妙想。

刚才说的这些都是验证模型的思路，通过不断和现实问题做比较，我们可以迭代出更合适的模型，把现实问题尽可能无损地映射进计算机里。

3 权衡：要贴近现实，也要容易求解

到这里，我们已经完成建立数学模型的任务了，但好的算法工程师还有一项任务要做，就是权衡，在模型的准确性和实现成本上进行取舍权衡。

比如预测人口问题，联合国人口司的模型显然最科学、最准确，那是不是意味着所有人在解决这个问题上，就都要采用这个模型呢？不一定。

一个模型是不是最优选择，不仅要看模型是不是靠谱，还要看是否能实现。对准确性要求高，通常就意味着变量多、逻辑复杂、数据不可得等困难。如果没有联合国人口司获取数据的能力 ，那么简单一些的逻辑斯蒂增长模型可能就更适合。

同时，一个复杂的模型对算法也提出了更高的要求，要么是成本上的，要么是复杂度上。复杂的模型或多或少，都带来更复杂的解法。

比如，同样是对股票价格进行预测，我们可以用简单的线性回归，也可以用深层神经网络模型，但是求解难度上就差太多了。

打个比方，不同的算法，好比是不同的画家。你让一个三岁的小画家，和达·芬奇排排坐，坐在一起画一位贵妇人。小朋友画出来的就是一堆鸡蛋和油条”，鸡蛋是脑袋，油条是胳膊。那达·芬奇画出来的就是《蒙娜丽莎》。

小朋友对图像的认知很简单，所有物体都被简化成了圆圈和线条，那画起画来，完成画作也不是那么难，三分钟就能完成。这就好像是线性回归模型。

达·芬奇对图像的认知非常细腻，什么是透视，什么是人体结构，都搞得清清楚楚的。他画出作品，当然要花更多的时间和精力，能画出迷之微笑”也需要更复杂的技巧。

这就像是神经网络模型，模型的结构复杂，能捕捉的细节多，但求解起来就更难。

所以说，虽然模型的选择过程存在主观性，没有统一的标准说怎样才是最好。但它有一个底线，那就是模型必须能求得有效解。

如果你的模型需要没有的数据或者没有有效的算法解决，那么模型再好，逼近现实问题程度再高也没用。在解决问题的时候，不能光追求模型准确，还要权衡它的可行性高低，最终找到一个又能准确描述现实，又能有效求解的模型。

划重点：

1建模就是把复杂的现实问题，转化成数学语言的过程。

2算法工程师会遵循三个步骤，不断迭代找出最合适的模型：

（1）确定假设，找到核心变量和关系，舍弃不重要的细节，把模糊的问题，明确化、定量化。

（2）验证模型，不断和现实问题做比较，验证模型是否足够贴合现实问题。

（3）权衡可行性，找到一个又能准确描述现实，又能有效求解的模型。